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Ricordando dalla seconda legge della dinamica che una Forza è il prodotto di una massa per l’accelerazione e che se consideriamo la forza costante e conservativa e lo spostamento unidirezionale il Lavoro è il prodotto della Forza per lo spostamento  L = F x s = m x a x s.
Ricordando che v = rad 2as invertendo la formula otteniamo che  s =v^2 / a

Energia cinetica di un corpo che ruota

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Forza obliqua

Momento meccanico

La forza motrice orientata perpendicolarmente all'asta le imprime una rotazione attorno al punto in cui è inchiodata. Questa rotazione provocata dalla forza applicata perpendicolarmente al raggio di rotazione si chiama Momento meccanico o Momento della forza.
La formula che lo sprime è il prodotto tra la forza e il raggio di rotazione  M = F x r

Nel caso di un corpo rigido in rotazione ricordiamo che la velocità angolare è uguale in ogni punto mentre la velocità periferica o tangenziale dipende dalla distanza dal centro
Consideriamo un'asta inchiodata a terra: se applichiamo una forza all'estremità libera ruoterà.

La forza perpendicolare si trova con l'aiuto della trigonometria: questa infatti è  Fy = F sin θ dove θ è l'angolo compreso tra il vettore della forza e il raggio di rotazione

L'inerzia nel wushu

Nel caso di una forza obliqua è solamente la componente perpendicolare al raggio ad agire

Sostituendo nella formula dell'energia cinetica la formula della velocità periferica (v = ωr dove ω è la velocità angolare) otteniamo la formula nel riquadro

Un corpo in movimento è dotato di Energia Cinetica, frutto di una forza che genera uno spostamento, ovvero di un Lavoro.

Velocità angolare

 
 
 
 
 

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se l’asta forma un angolo θ con l’asse y, la proiezione del punto x sull’asse y è quella rappresentata nel disegno.  L’inerzia è data dall’integrale di ogni singola massa puntiforme lungo tutta la massa per il quadrato del raggio di rotazione che è x sinθ.
I = ρ ∫ (x sinθ)^2 dx. Riscrivendo ρ = m/l e portando fuori dall'integrale la funzione trigonometrica abbiamo
I = m/l (sinθ)^2 ∫ x^2 dx che sviluppato e semplificato dà l'inerzia della gamba durante un calcio circolare volante
I = m l^2 / 3 (sinθ)^2

Inerzia nei calci circolari volanti

Inerzia nel calcio frontale volante

Momento di inerzia

Possiamo definire il Momento di Inerzia di una particella puntiforme di massa m ad una distanza r dal fulcro di un corpo rigido in rotazione e rappresenta la resistenza da vincere per imprimere il movimento al corpo che deve ruotare (oppure per frenare un corpo che sta ruotando).
Il Momento di Inerzia aumenta quindi (e di molto, ) con l’allontanamento dall’asse di rotazione , chiamato braccio

Il sistema è approssimato da un'asta che ruota sul centro
Confrontiamo le formule dell'energia cinetica nel moto traslatorio e nel moto rotatorio:

Il perno rappresenta l'inguine, l'estremità libera il piede che va a calciare verso gli occhi.
Dobbiamo integrare il Momento di inerzia lungo tutta la lunghezza dell'asta. I = ∫ r^2 dm. Sapendo che la massa è il prodotto della densità moltiplicato per tutta la lunghezza dell'asta allora I = ρ ∫ l^2 dl. Lo sviluppo dell'integrale dà I = ρ l^3 / 3. Riscrivendo ρ=m/l otteniamo l'inerzia della gamba durante il calcio frontale volante         I = m l^2 / 3

Il sistema che approssima al meglio il calcio frontale volante è un'asta vincolata ad un'estremità che esegue un movimento di 180° attorno al fulcro

l’inerzia del punto di massa dm che ruota attorno al perno centrale va integrato dalla metà superiore dell’arma alla metà inferiore: quindi l’integrale è I = ρ ∫ r^2 dl compreso tra  l/2  e
 -l/2. Sviluppando l'integrale otteniamo I = ρ r^3 / 3 con r  compreso tra l/2 e -l/2 perchè il raggio di rotazione è a metà dell'arma. Pertanto lo sviluppo è I = m/3l (l/2)^3 - m/3l (-l/2)^3 cioè I = m l^3 / 24 l + m l^3 / 24 l che semplificato fa
I = m l^2 / 12

Il sistema è approssimato da un'asta rigida che ruota attorno a un perno fissato all'estremità.

Inerzia nel maneggio del bastone

 
 
 
 

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Il teorema di Huygens-Steiner descrive il Momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo ad un altro passante per il centro di massa in cui il raggio di rotazione è calcolato con il teorema di Pitagora  r = rad x^2 + y^2. L'integrale è dunque
I = ∫ (x^2 + y^2) dm. Se noi trasliamo il punto dm su un sistema che non passa per il centro di massa (ricordiamo che il sistema braccio-arma non ruota sul centro di massa, ruota sulla spalla), essendo “d” la distanza tra il centro di massa del sistema braccio-arma e l’asse di rotazione (passante per la spalla) allora le nuove coordinate x’, y’ sono  x’ = x – d  e  y’ = y. L'integrale diventa pertanto I = ∫ (x-d)^2+y^2 che sviluppato e semplificato da     I = m ( r^2 + d^2) con r raggio di rotazione del sistema e d distanza del centro di massa del sistema braccio-arma dal perno di rotazione (la spalla)

Arma corta che scende a braccio teso

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Maneggio dell'arma corta sul polso

Maneggio del bastone impugnato verso il fondo

l’inerzia del punto di massa dm che ruota attorno al perno va integrato da 1/4 dell’arma a 3/4: quindi l’integrale è I = ρ ∫ r^2 dl compreso tra l/4 e -3l/4. Sviluppando l'integrale otteniamo I = ρ r^3 / 3 con r compreso tra l/4 e -3l/4. Pertanto lo sviluppo è I = m/3l (l/4)^3 - m/3l (-3l/4)^3 cioè I = m l^3 / 3x64 l + m (3l)^3 / 3x64 l che sviluppato fa 28 m l^3 / 192 l che semplificato fa
I = 7 m l^2 / 48 (maggiore di 1/12: è più faticoso)

Nelle tecniche rotatorie bisogna cercare di ridurre il momento di inerzia per aumentare la velocità dei giri, cosa che sanno molto bene i pattinatori e i tuffatori..
E' un'asta che ruota attorno ad un perno fissato ad un quarto della lunghezza.

Lo abbiamo già calcolato: I = m l^2 /3

E' il sistema rappresentato dall'asta vincolata ad un'estremità il cui movimento prosegue fino a compiere una circonferenza.

Il principio di conservazione del Momento angolare ci dice chiaramente che riducendo il raggio di rotazione aumenta la velocità angolare.

E' pertanto determinante cercare di eseguire la battuta nei calci circolari in volo il più possibile vicino agli occhi per ridurre il raggio (distanza tra gamba e asse del corpo che ruota in aria)
Il sistema che approssima meglio questa tecnica è il teoprema di Huyhgens-Steiner.

Principio di conservazione del Momento angolare